【高校数学】”三角形の重心”の公式とその証明

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“三角形の重心”の公式とその証明です!

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三角形の重心

公式

三角形の重心
三角形の重心の座標

\(A(x_1, y_2), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)からなる△ABCの重心の座標は
    \((\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)

証明

内分点の座標による証明

証明
三角形の重心証明
BCの中点を\(M(x_m,y_m)\)とすると
内分点の座標より
\(M(x_m,y_m)=M(\frac{x_2+x_3}{2} , \frac{y_2+y_3}{2})\)
重心G(x,y)は重心の性質より
\(AG:GM=2:1\)
また内分点の座標より
\(x=\frac{x_1+2x_m}{2+1}\)
  \(=\frac{x_1+2×\frac{x_2+x_3}{2}}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\)
\(y=\frac{y_1+2y_m}{2+1}\)
  \(=\frac{y_1+2×\frac{y_2+y_3}{2}}{3}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\)
よって
\(A(x_1, y_2), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)からなる△ABCの重心の座標は
\((\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)

数2の公式一覧とその証明