【高校数学】”三角関数の合成”の公式とその証明

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“三角関数の合成”の公式とその証明です!

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三角関数の合成

公式

三角関数の合成

$$asinθ+bcosθ=\sqrt{a^2+b^2}sin(θ+α)$$

証明

加法定理による証明

証明
\(\sqrt{a^2+b^2}sin(θ+α)\)
加法定理により展開すると
\(\sqrt{a^2+b^2}sin(θ+α)\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}(cosαsinθ+sinαcosθ)\)
ここで\(cosα=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\),\(sinα=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)とすることができ、これを上の式に代入すると
\(=asinθ+bcosθ\)
よって
\(asinθ+bcosθ=\sqrt{a^2+b^2}sin(θ+α)\)

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