【高校数学】”積和の公式”の公式とその証明

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“積和の公式”の公式とその証明です!

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積和の公式

公式

積和の公式

\(・sinαcosβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)+sin(α-β))\)
\(・cosαsinβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)-sin(α-β))\)
\(・cosαcosβ=\frac{1}{2}(cos(α+β)+cos(α-β))\)
\(・sinαsinβ=-\frac{1}{2}(cos(α+β)-cos(α-β))\)

証明

\(sinαcosβ\)の証明

証明
加法定理より
\(・sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
\(・sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)
2つの式を足し合わせると
\(sin(α+β)+sin(α-β)\)
\(=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ\)
\(=2sinαcosβ\)
右辺と左辺を入れ替えると
\(2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α-β)\)
よって
\(sinαcosβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)+sin(α-β))\)


\(cosαsinβ\)の証明

証明
加法定理より
\(・sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
\(・sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)
上の式から下の式を引くと
\(sin(α+β)-sin(α-β)\)
\(=sinαcosβ+cosαsinβ-sinαcosβ+cosαsinβ\)
\(=2cosαsinβ\)
右辺と左辺を入れ替えると
\(2cosαsinβ=sin(α+β)-sin(α-β)\)
よって
\(cosαsinβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)-sin(α-β))\)


\(cosαcosβ\)の証明

証明
加法定理より
\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)
2つの式を足し合わせると
\(cos(α+β)+cos(α-β)\)
\(=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ\)
\(=2cosαcosβ\)
右辺と左辺を入れ替えると
\(2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)\)
よって
\(cosαcosβ=\frac{1}{2}(cos(α+β)+cos(α-β))\)


\(sinαsinβ\)の証明

証明
加法定理より
\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)
上の式から下の式を引くと
\(cos(α+β)-cos(α-β)\)
\(=cosαcosβ-sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ\)
\(=-2sinαsinβ\)
右辺と左辺を入れ替えると
\(-2sinαsinβ=cos(α+β)-cos(α-β)\)
よって
\(sinαsinβ=-\frac{1}{2}(cos(α+β)-cos(α-β))\)

数2の公式一覧とその証明