【高校数学】”和積の公式”の公式とその証明

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“和積の公式”の公式とその証明です!

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和積の公式

公式

和積の公式

\(・sinα+sinβ=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}\)
\(・sinα-sinβ=2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}\)
\(・cosα+cosβ=2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}\)
\(・cosα-cosβ=-2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}\)

証明

積和の公式による証明

証明
積和の公式より
\(・sinAcosB=\frac{1}{2}(sin(A+B)+sin(A-B))\)
\(・cosAsinB=\frac{1}{2}(sin(A+B)-sin(A-B))\)
\(・cosAcosB=\frac{1}{2}(cos(A+B)+cos(A-B))\)
\(・sinAsinB=-\frac{1}{2}(cos(A+B)-cos(A-B))\)

ここで\(A+B=α\) , \(A-B=β\)とすると
\(A=\frac{α+β}{2}\) , \(B=\frac{α-β}{2}\)
これらを上の積和の公式に代入すると
\(・sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}=\frac{1}{2}(sinα+sinβ)\)
\(・cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}=\frac{1}{2}(sinα-sinβ)\)
\(・cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}=\frac{1}{2}(cosα+cosβ)\)
\(・sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}=-\frac{1}{2}(cosα-cosβ)\)
よって
\(・sinα+sinβ=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}\)
\(・sinα-sinβ=2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}\)
\(・cosα+cosβ=2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}\)
\(・cosα-cosβ=-2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}\)

数2の公式一覧とその証明