【高校数学】”二次方程式の解の公式”の公式とその証明

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“二次方程式の解の公式”の公式とその証明です!

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二次方程式の解の公式

公式

二次方程式の解の公式

2次方程式ax2+bx+c=0の解は
$$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

証明

単純計算による証明

証明
\(ax^2+bx+c=0\)
\(a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0\)
\(a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2} )+c=0\)
\(a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2}{4a}+c=0\)
\(a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\)
\((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2}\)
\(x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
よって
\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

問題

Q

\(3x^2+2x-2\)を解け

A

\(3x^2+2x-2\)
二次方程式の解の公式より
\(x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times 3\times (-2)}}{2\times 3}\)
 \(=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{6}\)
 \(=\frac{-2\pm 2\sqrt{7}}{6}\)
 \(=\frac{-1\pm \sqrt{7}}{3}\)
 \(=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}, \frac{-1-\sqrt{7}}{3}\)
よって解は
\(x=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}, \frac{-1-\sqrt{7}}{3}\)となります.

まとめ

二次方程式の解の公式により二次方程式の因数分解が難しい場合でも解くことできます.しかしルートの中がマイナスになった場合に解はなしになりますが,複素数という数学を使えば解を表現できます.

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