【高校数学】”方べきの定理1”の公式とその証明

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“方べきの定理1”の公式とその証明です!

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方べきの定理1

公式

方べきの定理1
方べきの定理1

二直線の交点をPとし、直線と円の交点をA、BとC、Dとすると
  \(PA・PB=PC・PD\)

証明

三角形の相似よる証明

証明
方べきの定理1証明
円周角の定理円に内接する四角形の関係より
∠A=∠D      ①
∠B=∠C      ②
対角、共通な角より
∠APC=∠DPB    ③
①、②、③より
△APC∽△DPB
よって
PA:PD=PC:PB
よって
\(PA・PB=PC・PD\)

問題

Q

図のPDを求めよ。

A

方べきの定理1より
\(PA・PB=PC・PD\)
⇒\(PD=\frac{PA・PB}{PC}\)
\( =\frac{4・3}{4}\)
\( =3\)
よって
\(PD=3\)

まとめ

円と直線の組み合わせが出てきたときには方べきの定理が使えるかもしれないので,使えるようにしておきましょう。

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