“奇関数の定積分”の公式とその証明です！
奇関数の定積分
公式
奇関数の定積分$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$
証明
奇関数の定義による証明
証明
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
また\(x=-t\)とすると
\(\int_{-a}^0f(x)dx\)
\(=\int_{a}^0f(-t)(-1)dt\)
奇関数の定義 f(-x)=-f(x)より
\(=-\int_{0}^af(t)dt\)
よってf(x)が奇関数のとき
\(\int_{-a}^0f(x)dx =-\int_{0}^af(x)dx \)
よって
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=-\int_{0}^af(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=0\)
