【高校数学】”平均値の定理”の公式とその証明

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“平均値の定理”の公式とその証明です!

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平均値の定理

公式

平均値の定理

f(x) が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき
   \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)  (a<c<b)\)
となる点cが存在する

ロルの定理の証明

平均値の定理を証明するためにまずロルの定理を証明する

ロルの定理

f(x) が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき\(f(a)=f(b)\)となる関数\(f(x)\)で
   \(f'(c)=0  (a<c<b)\)
となる点cが存在する


最大値の原理による証明

証明
(ⅰ) \(f(x)\)が一定のとき
任意の\(c\)で\(f'(c)=0\)

(ⅱ) a<t<bで\(f(a)=f(b)≦f(t)\)となるtが存在するとき
a<t<bで\(f(c)\)が最大となるcが存在する。
\(f(x)\)が\(x=c\)で微分可能かつ、\(f(c)≧f(c+h)\)であるため
・\(f'(c)=\displaystyle \lim_{h→+0}{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}≦0\)
・\(f'(c)=\displaystyle \lim_{h→-0}{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}≧0\)
よって\(f'(c)=0\)

(ⅲ) a<t<bで\(f(a)=f(b)≧f(t)\)となるtが存在するときも(ⅱ)のときと同様に証明し、\(f'(c)=0\)

よって
f(x) が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき\(f(a)=f(b)\)となる関数\(f(x)\)で
   \(f'(c)=0  (a<c<b)\)
となる点cが存在する

平均値の定理の証明

平均値の定理

f(x) が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき
   \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)  (a<c<b)\)
となる点cが存在する


ロルの定理による証明

証明
\(g(x)=f(x)+αx\)とする。
\(g(a)=g(b)\)とするとき
\(g(a)=f(a)+αa\)
\(=g(b)=f(b)+αb\)
⇒ \(α=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ \(g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\)
\(g(a)=g(b)\)であるため
ロルの定理より
\(g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0  (a<c<b)\)
よって
f(x) が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき
   \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)  (a<c<b)\)
となる点cが存在する

数3の公式一覧とその証明