【高校数学】数3の公式一覧とその証明まとめ!

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数3の公式一覧とその証明をまとめました。各公式の右下にその公式の証明のリンクがあるので、勉強などに役立ててもらえれば幸いです。

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平面上の曲線

楕円の性質

楕円の性質

楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)において
 ・長軸:2a、短軸:2b
 ・焦点 \(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
 ・楕円上の点Pで  PF+PF’=2a

“楕円の性質”の証明

双曲線の性質

双曲線の性質

双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)\)において
 ・焦点 \(F(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2+b^2}, 0)\)
 ・双曲線上の点Pで  |PF-PF’|=2a

“双曲線の性質”の証明

複素数平面

複素数の積と商

複素数の積と商

\(・z_1z_2=r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)\}\)
\(・\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)\}\)

“複素数の積と商”の証明

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理

$$(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ$$

“ド・モアブルの定理”の証明

関数と極限

\(\frac{sinθ}{θ}\)の極限

\(\frac{sinθ}{θ}\)の極限

$$\lim_{θ→0}\frac{sinθ}{θ}=1$$

“\(\frac{sinθ}{θ}\)の極限”の証明

微分

積の導関数

積の導関数

$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

“積の導関数”の証明

商の導関数

商の導関数

\(・\{\frac{1}{g(x)}\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
\(・\{\frac{f(x)}{g(x)}\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

“商の導関数”の証明

三角関数の導関数

三角関数の導関数

  \(・(sinx)’=cosx\)
  \(・(cosx)’=-sinx\)
  \(・(tanx)’=\frac{1}{cos^2x}\)

“三角関数の導関数”の証明

対数関数の導関数

対数関数の導関数

$$(\log_ax)’=\frac{1}{x\log a}$$

“対数関数の導関数”の証明

\(x^a\)の導関数

\(x^a\)の導関数

$$(x^a)’=ax^{a-1}$$

” xa の導関数”の証明

指数関数の導関数

指数関数の導関数

    \(・(e^x)’=e^x\)
    \(・(a^x)’=a^x\log a\)

“指数関数の導関数”の証明

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微分の応用

平均値の定理

平均値の定理

f(x) が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき
   \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)  (a<c<b)\)
となる点cが存在する。

“平均値の定理”の証明

コーシーの平均値の定理

コーシーの平均値の定理

f(x), g(x)が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき, ある点cが存在して
\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}  (a<c<b)\)
が成り立つ。

“コーシーの平均値の定理”の証明

ロピタルの定理

ロピタルの定理

f(x), g(x)がx=a近くで微分可能で, f(a)=0, g(a)=0かつ\(\lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) が存在するならば
\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
が成り立つ。

“ロピタルの定理”の証明

積分とその応用

置換積分法

置換積分法

$$\int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt$$

“置換積分法”の証明

部分積分法

部分積分法

$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$

“部分積分法”の証明

偶関数の定積分

偶関数の定積分

$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$

“偶関数の定積分”の証明

奇関数の定積分

奇関数の定積分

$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$

“奇関数の定積分”の証明