【高校数学】数2の公式一覧とその証明まとめ!

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数2の公式一覧とその証明をまとめました。各公式の右下にその公式の証明のリンクがあるので、勉強などに役立ててもらえれば幸いです。

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方程式・式と証明

二項定理

二項定理

\((a+b)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+…_nC_ra^{n-r}b^r+\)
        \(…_nC_{n-1}ab^{n-1}+_nC_nb^n\)
      \( =\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k}b^k \)

“二項定理”の証明

相加平均と相乗平均

相加平均と相乗平均

a≧0、b≧0のとき
    \(\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)

“相加平均と相乗平均”の証明

図形と方程式

内分点・外分点の座標

内分点・外分点の座標

2点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)を結ぶABがあるとき
・m:n に内分する点の座標は
    \((\frac{nx_1+mx_2}{m+n}, \frac{ny_1+my_2}{m+n})\)
・m:n に外分する点の座標は
    \((\frac{-nx_1+mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1+my_2}{m-n})\)

“内分点・外分点の座標”の証明

三角形の重心

三角形の重心
三角形の重心の座標

\(A(x_1, y_2), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)からなる△ABCの重心の座標は
    \((\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)

“三角形の重心の座標”の証明

点と直線の距離

点と直線の距離

点\((x_1, y_1)\)と直線ax+by+c=0の距離dは
    \(d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

“点と直線の距離”の証明

円の方程式

円の方程式

(a, b)を中心とする半径rの円の方程式は
    \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

三角関数

扇形の弧の長さと面積

扇形の弧の長さと面積

半径r、中心角θ、弧の長さl、面積Sとすると
  \(・l=rθ\)
  \(・S=\frac{1}{2}r^2θ=\frac{1}{2}lr\)

“扇形の弧の長さと面積”の証明

三角関数の相互関係

三角関数の相互関係

 \(・sin^2θ+cos^2θ=1\)
 \(・tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\)
 \(・1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}\)

“三角関数の相互関係”の証明

加法定理

加法定理

\(・sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
\(・sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)
\(・cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
\(・cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)
\(・tan(α+β)=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}\)
\(・tan(α-β)=\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}\)

“加法定理”の証明

2倍角の公式

2倍角の公式

\(・sin2α=2sinαcosα\)
\(・cis2α=cos^2α-sin^2α\)
    \(=1-2sin^2α=2cos^2α-1\)
\(・tan2α=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)

“2倍角の公式”の証明

半角の公式

半角の公式

 \(・sin^2\frac{α}{2}=\frac{1-cosα}{2}\)
 \(・cos^2\frac{α}{2}=\frac{1+cosα}{2}\)

“半角の公式”の証明

三角関数の合成

三角関数の合成

$$asinθ+bcosθ=\sqrt{a^2+b^2}sin(θ+α)$$

“三角関数の合成”の証明

積和の公式

積和の公式

\(・sinαcosβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)+sin(α-β))\)
\(・cosαsinβ=\frac{1}{2}(sin(α+β)-sin(α-β))\)
\(・cosαcosβ=\frac{1}{2}(cos(α+β)+cos(α-β))\)
\(・sinαsinβ=-\frac{1}{2}(cos(α+β)-cos(α-β))\)

“積和の公式”の証明

和積の公式

和積の公式

\(・sinα+sinβ=2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}\)
\(・sinα-sinβ=2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}\)
\(・cosα+cosβ=2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}\)
\(・cosα-cosβ=-2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}\)

“和積の公式”の証明

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指数関数・対数関数

対数と指数

対数と指数

a≠1、a>0、M>0のとき
     \(log_aM=p ⇔ a^p=M\)

対数の性質

対数の性質

a≠1、a>0、M>0、N>0のとき
 \(・log_a1=0\)
 \(・log_aa=1\)
 \(・log_aMN=log_aM+log_aN\)
 \(・log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
 \(・log_aM^r=rlog_aM\)

“対数の性質”の証明

底の変換公式

底の変換公式

a≠1、c≠1でa、b、cが正の数のとき
   \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)

“底の変換公式”の証明

微分と積分

導関数の定義

導関数の定義

$$f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

xⁿの導関数

xⁿの導関数

xが自然数のとき
     \((x^n)’=nx^{n-1}\)

” \(x^n\) の導関数”の証明

定積分

定積分

$$\int_a^bf(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$