【高校数学】”対数の性質”の公式とその証明

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“対数の性質”の公式とその証明です!

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対数の性質

公式

対数の性質

a≠1、a>0、M>0、N>0のとき
 \(・log_a1=0\)
 \(・log_aa=1\)
 \(・log_aMN=log_aM+log_aN\)
 \(・log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
 \(・log_aM^r=rlog_aM\)

証明

対数の定義による証明

証明
\(log_aM=p ⇔ a^p=M\)より証明する

\(a^0=1\)
⇒ \(log_a1=0\)

\(a^1=a\)
⇒ \(log_aa=1\)

\(log_aM=x , log_aN=y\)とすると
\(M=a^x , N=a^y\)
よって
\(log_aM+log_aN=x+y\)   ①
また
\(MN=a^xa^y=a^{x+y}\)
⇒ \(log_aMN=x+y\)     ②
①、②より
\(log_aMN=log_aM+log_aN\)

\(log_aM=x , log_aN=y\)とすると
\(M=a^x , N=a^y\)
よって
\(log_aM-log_aN=x-y\)   ③
また
\(\frac{M}{N}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\)
⇒ \(log_a\frac{M}{N}=x-y\)     ④
③、④より
\(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)

\(x=log_aM^r\)とすると    ⑤
\(M^r=a^x \)
⇒ \(M=a^{\frac{x}{r}}\)
⇒ \(\frac{x}{r}=log_aM\)
⇒ \(x=rlog_aM\)       ⑥
⑤、⑥より
\(log_aM^r=rlog_aM\)

よって
\(log_a1=0\)
\(log_aa=1\)
\(log_aMN=log_aM+log_aN\)
\(log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN\)
\(log_aM^r=rlog_aM\)

数2の公式一覧とその証明