【高校数学】”等比数列の和”の公式とその証明

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“等比数列の和”の公式とその証明です!

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等比数列の和

公式

等比数列の和

初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和は
・r≠1のとき  \(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)

証明

引き算による証明

証明
初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和は
\(S_n=a+ar+ar^2+…+ar^{n-2}+ar^{n-1} ①\)
①の両辺にrをかけると
\(rS_n=ar+ar^2+ar^3+…+ar^{n-1}+ar^n ②\)
①から②を引くと
\((1-r)S_n=a+(ar-ar)+(ar^2-ar^2)+(ar^3-ar^3)+\)
\(…+(ar^{n-1}-ar^{n-1})-ar^n\)
\(=a-ar^n\)
\(=a(1-r^n)\)
よって
\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
また②から①を引くと上と同様に計算でき
\(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)
よって
\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)

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