【高校数学】”偶関数の定積分”の公式とその証明

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“偶関数の定積分”の公式とその証明です!

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偶関数の定積分

公式

偶関数の定積分

$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$

証明

偶関数の定義による証明

証明
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
また右辺の第一項において、\(x=-t\)とすると
\(\int_{-a}^0f(x)dx\)
\(=\int_{a}^0f(-t)(-1)dt\)
偶関数の定義 f(-x)=f(x)より
\(=\int_{0}^af(t)dt\)
よってf(x)が偶関数のとき
\(\int_{-a}^0f(x)dx =\int_{0}^af(x)dx \)
よって
\(\int_{-a}^af(x)dx\)
\(=\int_{-a}^0f(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=\int_{0}^af(x)dx +\int_{0}^af(x)dx\)
\(=2\int_{0}^af(x)dx\)

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