【高校数学】”楕円の性質”の公式とその証明

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“楕円の性質”の公式とその証明です!

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楕円の性質

公式

楕円の性質

楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)において
 ・長軸:2a、短軸:2b
 ・焦点 \(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
 ・楕円上の点Pで  PF+PF’=2a

証明

証明
楕円の性質証明
まず楕円の定義は焦点を\(F(c,0)、F'(-c,0)\)、楕円上の点を\(P(x,y)\)としたときに、
\(PF+PF’=2a\)となる。
よって上の図より
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\)
⇒ \(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
両辺を2乗して整理すると
\(a^2+xc=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
さらに両辺を2乗して整理すると
\((a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\)
\(a^2-c^2=b^2\)とすると     ①
\(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\)
⇒ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)       ②

また①より
\(c^2=a^2-b^2\)
⇒ \(c=±\sqrt{a^2-b^2}\)
a>b>0より
焦点は\(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)

また②よりy=0のとき
\(x^2=a^2\)
⇒ \(x=±a\)
またx=0のとき
\(y^2=b^2\)
⇒ \(y=±b\)
よって
長軸:2a、短軸:2b

つまり
楕円\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\)において
 ・長軸:2a、短軸:2b
 ・焦点 \(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
 ・楕円上の点Pで  PF+PF’=2a

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