【高校数学】”二重根号”の公式とその証明

mathematics高校数学

“二重根号”の公式とその証明です!

スポンサーリンク

二重根号

公式

二重根号

 \(・\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \)
 \(・\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)  (a>bのとき)

証明

\(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\) の証明

証明
\(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
よって
\(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \)


\(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}\)の証明

証明
\(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} \)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
よって
\(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \)

問題

Q

\(\sqrt{7+2\sqrt{12}}\)を簡単化せよ

A

\(\sqrt{7+2\sqrt{12}}\)
\(=\sqrt{3+2\sqrt{3}\sqrt{4}+4}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{4})^2}\)
\(=\sqrt{3}+\sqrt{4}\)

まとめ

二重混合を常に外せるわけではありませんが,今回のように二重混合を外して式を簡単化することができます。

数1の公式一覧とその証明