【高校数学】”2倍角の公式”の公式とその証明

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“2倍角の公式”の公式とその証明です!

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2倍角の公式

公式

2倍角の公式

\(・sin2α=2sinαcosα\)
\(・cos2α=cos^2α-sin^2α\)
    \(=1-2sin^2α=2cos^2α-1\)
\(・tan2α=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)

証明

\(sin2α\)の証明

証明
加法定理より
\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
このときβ=αとすると
\(sin(2α)=sinαcosα+cosαsinα\)
よって
\(sin(2α)=2sinαcosα\)


\(cos2α\) の証明

証明
加法定理より
\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
このときβ=αとすると
\(cos(2α)=cosαcosα-sinαsinα\)
よって
\(cos(2α)= cos^2α-sin^2α\)
     \(=1-2sin^2α=2cos^2α-1\)


\(tan2α\)の証明

証明
\(tan2α\)
\(=\frac{sin2α}{cos2α}\)
\(=\frac{2sinαcosα}{ cos^2α-sin^2α}\)
\(=\frac{(2sinαcosα)÷cos^2α}{( cos^2α-sin^2α)÷cos^2α}\)
\(=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)
よって
\(tan2α=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)

数2の公式一覧とその証明