【高校数学】”\(x^n\)の導関数”の公式とその証明

mathematics高校数学

“xⁿの導関数”の公式とその証明です!

スポンサーリンク

\(x^n\)の導関数

公式

\(x^n\)の導関数

$$(x^n)’=nx^{n-1}$$

証明

二項定理による証明

証明
導関数の定義より
\((x^n)’\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\)
二項定理より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(_nC_0x^n+_nC_1x^{n-1}h+_nC_2x^{n-2}h^2+…+_nC_nh^n)-x^n}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}(nx^{n-1}+_nC_2x^{n-2}h+…+_nC_nh^{n-1})\)
\(=nx^{n-1}\)
  よって
\((x^n)’=nx^{n-1}\)

数2の公式一覧とその証明