【高校数学】”\(x^a\)の導関数”の公式とその証明

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“xaの導関数”の公式とその証明です!

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\(x^a\)の導関数

公式

\(x^a\)の導関数

$$(x^a)’=ax^{a-1}$$

証明

二項定理による証明

証明
導関数の定義より
\((x^a)’\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(x+h)^a-x^a}{h}\)
二項定理より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{(_aC_0x^a+_aC_1x^{a-1}h+_aC_2x^{a-2}h^2+…+_aC_ah^a)-x^a}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}(ax^{a-1}+_aC_2x^{a-2}h+…+_aC_ah^{a-1})\)
\(=ax^{a-1}\)
よって
\((x^a)’=ax^{a-1}\)

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