【高校数学】”積の導関数”の公式とその証明

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“積の導関数”の公式とその証明です!

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積の導関数

公式

積の導関数

$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

証明

導関数の定義からの証明

証明
\(\{f(x)g(x)\}’\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{h}\{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)\)
 \(+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{h}\{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)\}\)
 \(+\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{h}\{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)\)
 \(+\displaystyle\lim_{h→0}f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\)
\(=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
よって
\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

数3の公式一覧とその証明