【高校数学】”対数関数の導関数”の公式とその証明

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“対数関数の導関数”の公式とその証明です!

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対数関数の導関数

公式

対数関数の導関数

$$(\log_ax)’=\frac{1}{x\log a}$$

証明

導関数の定義からの証明

証明
導関数の定義より
\((\log_ax)’\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}\)
対数の性質より
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{x}\frac{x}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})\)
\(=\frac{1}{x}\displaystyle\lim_{h→0}\log_a(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}\)
\(\frac{h}{x}=k\)とすると h→0のときk→0であるため
\(=\frac{1}{x}\displaystyle\lim_{k→0}\log_a(1+k)^{\frac{1}{k}}\)
底の変換公式より
\(=\frac{1}{x}\displaystyle\lim_{k→0}\frac{\log (1+k)^{\frac{1}{k}}}{\log a}\)
自然対数\(e\)の定義より
\(e=\displaystyle\lim_{k→0}(1+k)^{\frac{1}{k}}\)であるため
\(=\frac{1}{x}\frac{\log e}{\log a}\)
\(=\frac{1}{x\log a}\)
よって
\((\log_ax)’=\displaystyle\frac{1}{x\log a}\)

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