【高校数学】”指数関数の導関数”の公式とその証明

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“指数関数の導関数”の公式とその証明です!

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指数関数の導関数

公式

指数関数の導関数

    \(・(e^x)’=e^x\)
    \(・(a^x)’=a^x\log a\)

証明

逆関数による証明

証明
\(y=a^x\)とし、対数関数にすると
\(x=\log _ay\)
yで微分すると対数関数の導関数より
\(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y\log a}\)
逆数にすると
\(\frac{dy}{dx}=(a^x)’=y\log a=a^x\log a\)
よって
\((a^x)’=a^x\log a\)
またa=eとすると\(\log e=1\)なので
\((e^x)’=e^x\)

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