【高校数学】”集合のド・モルガンの法則”の公式とその証明

mathematics高校数学

“集合のド・モルガンの法則”の公式とその証明です!

スポンサーリンク

集合のド・モルガンの法則

公式

集合のド・モルガンの法則

 \(・\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}\)
 \(・\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}\)

証明

べん図による\(\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}\)の証明

証明
\(\overline{A∪B} \)
ドモルガンの法則証明

\(\overline{A}∩\overline{B}\)
ドモルガンの法則証明
左辺と右辺をそれぞれ上のようにべん図で表すと、両辺で等しくなる。
よって
\(\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}\)


べん図による\(\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}\)の証明

証明
\(\overline{A∩B}\)
ドモルガンの法則証明

\(\overline{A}∪\overline{B}\)
ドモルガンの法則証明
左辺と右辺をそれぞれ上のようにべん図で表すと、両辺で等しくなる。
よって
\(\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}\)

問題

Q

要素全体が{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, \(A\)={1, 2, 3, 4} , \(B\)={3, 4, 5, 6}のとき,\(\overline{A\cup B}\)の要素を示せ.

A

\(A\cup B\)={1, 2, 3, 4, 5, 6}であるため
\(\overline{A\cup B}\)={7, 8}

A(別解)

ド・モルガンの法則のより
\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\) ①
\(\overline{A}\)={3, 4, 5, 6, 7, 8}
\(\overline{B}\)={1, 2, 7, 8}
\(\overline{A}\cap \overline{B}\)={7, 8} ②
①, ②より
\(\overline{A\cup B}\)={7, 8}

まとめ

上に示した問題ではド・モルガンの法則は大して必要がないようにも思えますが,複雑な場合はよりシンプルにすることができます.電気系の工学部では論理回路でよく使われます.

数1の公式一覧とその証明