【高校数学】”ド・モアブルの定理”の公式とその証明

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“ド・モアブルの定理”の公式とその証明です!

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ド・モアブルの定理

公式

ド・モアブルの定理

$$(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ$$

証明①

数学的帰納法よる証明

証明
n=1のとき
\((左辺)= cosθ+isinθ=(右辺)\)
より等式が成り立つ
n=kのとき等式が成り立つと仮定すると
\((cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ\)
n=k+1のとき
\((cosθ+isinθ)^{k+1}\)
\(=(cosθ+isinθ)^k( cosθ+isinθ )\)
\(=(coskθ+isinkθ)( cosθ+isinθ )\)
\(=(cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ)\)
\( +i(coskθsinθ+sinkθcosθ)\)
加法定理より
\(=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ\)
よって数学的帰納法より
\((cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ\)

証明②

オイラーの公式よる証明

証明
オイラーの公式
\(cosθ+isinθ=e^{iθ}\)より
\((cosθ+isinθ)^n=(e^{iθ})^n\)
\(e^{inθ}=cosnθ+isinnθ\)
よって
\((cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ\)

数3の公式一覧とその証明