【高校数学】”余弦定理”の公式とその証明

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“余弦定理”の公式とその証明です!

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余弦定理

公式

余弦定理
余弦定理

\(・a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA\)
\(・b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cacosB\)
\(・c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosC\)

証明

三平方の定理による証明

証明
余弦定理証明
∠BHCが直角になるようにHをとると
・BH=csinA
・HC=b-ccosA
となる。
三平方の定理より
\(BC^2=BH^2+HC^2\)
\(a^2=(csinA)^2+(b-ccosA)^2\)
  \(=c^2sin^2A+b^2-2bccosA+c^2cos^2A\)
  \(=b^2+c^2(sin^2A+cos^2A)-2bccosA\)
  \(=b^2+c^2-2bccosA\)
よって
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA\)

問題

Q

図のような三角形があるとき,辺の長さaを求めよ

A

余弦定理より
\(a^2=2^2+(1+\sqrt{3})^2-2\times 2\times (1+\sqrt{3})\times cos30°\)
\(=4+1+2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})\)
\(=2\)
⇒\(a=\sqrt{2}\)
となります.

まとめ

余弦定理は大変便利で使える場面も多いと思うのでしっかりと使えるようにしておいたほうがいいと思います.

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