【高校数学】”内積と成分”の公式とその証明

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“内積と成分”の公式とその証明です!

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内積と成分

公式

内積と成分

\(\vec{a}=(a_1, a_2), \vec{b}=(b_1, b_2)\)のとき
$$\vec{a}・\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$$

証明

余弦定理による証明

証明

図のように\(A(a_1,a_2) , B(b_1,b_2)\)と置くと
余弦定理より
\(|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2-2 |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cosθ\)
また内積の定義より上の式を変形すると
\(\vec{a}・\vec{b}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2- |\overrightarrow{AB}|^2)\)   ①
またそれぞれ
\(・|\overrightarrow{OA}|^2=a_1 ^2+a_2 ^2\)
\(・|\overrightarrow{OB}|^2=b_1 ^2+b_2 ^2\)
\(・|\overrightarrow{AB}|^2=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2\)
      \(=b_1 ^2-2a_1b_1+a_1 ^2\)
       \(+b_2 ^2-2a_2b_2+a_2 ^2\)
を①に代入して計算すると
\(\vec{a}・\vec{b}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2- |\overrightarrow{AB}|^2)\)
    \(=a_1b_1+a_2b_2\)
よって
\(\vec{a}・\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)

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