【高校数学】”複素数の積と商”の公式とその証明

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“複素数の積と商”の公式とその証明です!

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複素数の積と商

公式

複素数の積と商

\(・z_1z_2=r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)\}\)
\(・\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)\}\)

証明

加法定理による複素数の積の証明

証明
\(・z_1=r_1\{cosθ_1+isinθ_1\}\)
\(・z_2=r_2\{cosθ_2+isinθ_2\}\)
とすると
\(z_1z_2=r_1r_2\{cosθ_1+isinθ_1\}\{cosθ_2+isinθ_2\}\)
\(  =r_1r_2\{(cosθ_1cosθ_2-sinθ_1sinθ_2)\)
\(  +i(sinθ_1cosθ_2+cosθ_1sinθ_2)\}\)
加法定理より
\(  =r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)\}\)
よって
\(z_1z_2=r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)\}\)


加法定理による複素数の商の証明

証明
\(・z_1=r_1\{cosθ_1+isinθ_1\}\)
\(・z_2=r_2\{cosθ_2+isinθ_2\}\)
とすると
\(\frac{z_1}{z_2}= \frac{r_1}{r_2}\frac{cosθ_1+isinθ_1}{cosθ_2+isinθ_2}\)
\(  =\frac{r_1}{r_2}\frac{(cosθ_1cosθ_2+sinθ_1sinθ_2)+i(sinθ_1cosθ_2-cosθ_1sinθ_2)}{cosθ_2 ^2+sinθ_2 ^2} \)
加法定理より
\(  =\frac{r_1}{r_2}\{cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)\}\)
よって
\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)\}\)

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