【高校数学】”コーシーの平均値の定理”の公式とその証明

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“コーシーの平均値の定理”の公式とその証明です!

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コーシーの平均値の定理

公式

コーシーの平均値の定理

f(x), g(x)が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき, ある点cが存在して
\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}  (a<c<b)\)
が成り立つ。

証明

ロルの定理による証明

証明
\(F(x)=\{g(b)-g(a)\}f(x)-\{f(b)-f(a)\}g(x)\)
となるF(x)を定義する。
またf(x), g(x)が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能であるため、
F(x)も[a,b] で連続, (a,b) で微分可能である。
また\(F(a)=F(b)\)となるためロルの定理より
\(F'(c)=0   (a<c<b)\)
となるcが存在する。つまり
\(F'(c)=0\)
\(= \{g(b)-g(a)\}f'(c)-\{f(b)-f(a)\}g'(c)\)
⇒ \(\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
よって
f(x), g(x)が[a,b] で連続, (a,b) で微分可能のとき, ある点cが存在して
\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}  (a<c<b)\)
が成り立つ。

数3の公式一覧とその証明