【高校数学】”二項定理”の公式とその証明

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“二項定理”の公式とその証明です!

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二項定理

公式

二項定理

\((a+b)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+…_nC_ra^{n-r}b^r+\)
        \(…_nC_{n-1}ab^{n-1}+_nC_nb^n\)
      \( =\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k}b^k \)

証明

数学的帰納法による証明

証明
(ⅰ) n=1のとき
\((a+b)^1=a+b=\displaystyle \sum_{k=0}^1 {}_1C_k a^{1-k}b^k \)
よってn=1のとき二項定理は成り立つ。

(ⅱ) n=mのとき二項定理、すなわち\((a+b)^m=\displaystyle \sum_{k=0}^m {}_mC_k a^{m-k}b^k \)が成り立つとする。
この式の両辺に(a+b)をかける
\((a+b)^{m+1}=(a+b)\displaystyle \sum_{k=0}^m {}_mC_k a^{m-k}b^k \)
\(=a\displaystyle \sum_{k=0}^m {}_mC_k a^{m-k}b^k+b\displaystyle \sum_{k=0}^m {}_mC_k a^{m-k}b^k\)
\(=a^{m+1}+\displaystyle \sum_{k=1}^m {}_mC_k a^{m+1-k}b^k+\displaystyle \sum_{k=1}^m {}_mC_{k-1} a^{m+1-k}b^k+b^{m+1}\)
\(=a^{m+1}+\displaystyle \sum_{k=1}^m ({}_mC_k+ {}_mC_{k-1}) a^{m+1-k}b^k+b^{m+1}\)
\(=a^{m+1}+\displaystyle \sum_{k=1}^m {}_{m+1}C_ka^{m+1-k}b^k+b^{m+1}\)
\(=\displaystyle \sum_{k=0}^{m+1} {}_{m+1}C_k a^{m+1-k}b^k\)
よってn=m+1のときも二項定理が成り立つ。

よって数学的帰納法より
\((a+b)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+…_nC_ra^{n-r}b^r+\)
        \(…_nC_{n-1}ab^{n-1}+_nC_nb^n\)
      \( =\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k}b^k \)

問題

Q

\((x+2)^5\)を展開せよ

A

二項定理より
\((x+2)^5\)
⇒\(_5C_0x^5+_5C_12^1x^4+_5C_22^2x^3\)
\(+_5C_32^3x^2+_5C_42^4x^1+_5C_52^5\)
⇒\(x^5+5・2x^4+10・4x^3\)
\(+10・8x^2+5・16x+32\)
⇒\(x^5+10x^4+40x^3\)
\(+80x^2+80x+32\)

まとめ

二項定理を使わなくても式を展開できますが、数が多いときなどに素早く展開することができるので便利です。

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