【高校数学】”等差数列の和”の公式とその証明

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“等差数列の和”の公式とその証明です!

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等差数列の和

公式

等差数列の和

初項a、末項l、公差d、項数nの等差数列の和は
     \(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d)\)

証明

足し算による証明

証明
初項a、末項l、公差d、項数nの等差数列の和は
\(S_n\)
\(=a+(a+d)+(a+2d)+…\)
 \(+(l-2d)+(l-d)+l ①\)
①の式を逆順で表すと
\(S_n\)
\(=l+(l-d)+(l-2d)+…\)
 \(+(a+2d)+(a+d)+a ②\)
①、②の式を足し合わせると
\(2S_n\)
\(=(a+l)+(a+d+l-d)+(a+2d+l-2d)+…\)\(+(l-2d+a+2d)+(l-d+a+d)+(l+a)\)
\(=(a+l)+(a+l)+(a+l)+…\)
 \(+(l+a)+(l+a)+(l+a)\)
\(=n(a+l)\)
よって
\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
また\(l=a+(n-1)d\)であるため
\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d)\)

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