【高校数学】”相加平均と相乗平均”の公式とその証明

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“相加平均と相乗平均”の公式とその証明です!

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相加平均と相乗平均

公式

相加平均と相乗平均

a≧0、b≧0のとき
    \(\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)

証明

計算による証明

証明
\(\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)
⇒ \(a+b≧2\sqrt{ab}\)
両辺を2乗すると
\(a^2+2ab+b^2≧4ab\)
⇒ \(a^2-2ab+b^2\)
\(=(a-b)^2≧0\)
よって
\(\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)

問題

Q

\(x≧0\)のとき、\(2x-4\sqrt{5x}+10\)の範囲を求めなさい。

A

相加平均と相乗平均より
\(\frac{5+x}{2}≧\sqrt{5x}\)
⇒\(10+2x≧4\sqrt{5x}\)
⇒\(2x-4\sqrt{5x}+10≧0\)
よって
\(2x-4\sqrt{5x}+10≧0\)

まとめ

数字だけの計算のときは相加平均と相乗平均を使う機会は少ないですが、未知の値を計算する際に使えることもあるので頭に入れておきましょう。

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