“双曲線の性質”の公式とその証明です！
双曲線の性質
公式
双曲線の性質 双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)\)において
・焦点 \(F(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2+b^2}, 0)\)
・双曲線上の点Pで |PF-PF’|=2a
証明
証明
まず双曲線の定義は焦点を\(F(c,0)、F'(-c,0)\)、楕円上の点を\(P(x,y)\)としたときに、
\(|PF-PF’|=2a\)となる。
よって上の図より
\(|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}|=2a\)
⇒ \(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=±2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
両辺を２乗して整理すると
\(a^2+xc=±\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
さらに両辺を２乗して整理すると
\((c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\)
\(c^2-a^2=b^2\)とすると ①
\(b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\)
⇒ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
また①より
\(c^2=a^2+b^2\)
⇒ \(c=±\sqrt{a^2+b^2}\)
a>0,b>0より
焦点は\(F(\sqrt{a^2-b^2}, 0)、F'(-\sqrt{a^2-b^2}, 0)\)
よって
双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)\)において
・焦点 \(F(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、 F'(-\sqrt{a^2+b^2}, 0)\)
・双曲線上の点Pで |PF-PF’|=2a
